科技创新年 | 北京大学葛灵睿与合作者在拟周期薛定谔算子的研究中取得重要进展

抖音快讯 2025年09月10日 12:32 1 admin

来源：【北京大学】

国外著名的《Quanta Magazine》（量子杂志）近日发表了1篇名为“‘Ten Martini’ Proof Uses Number Theory to Explain Quantum Fractals（“十杯马丁尼”证明：运用数论阐释量子分形）”的文章，主要介绍了北京大学北京国际数学研究中心葛灵睿与加州大学伯克利分校Svetlana Jitomirskaya以及南开大学尤建功、周麒几位研究人员，在拟周期薛定谔算子的研究中合力取得的重要进展（四人撰写的论文Multiplicative Jensen's formula and quantitative global theory of one-frequency Schrödinger operators以及葛灵睿、Svetlana Jitomirskaya和尤建功三人撰写的论文Kotani theory, Puig's argument, and stability of The Ten Martini Problem分别于2023年6月和8月发布于arXiv预印本网站）

该文的主要内容为，在前人成果的基础上，葛灵睿与Svetlana Jitomirskaya、尤建功合作最终证明了“Ten Martini（十杯马丁尼）”问题的稳定性。该问题与“Hofstadter蝴蝶”的猜想（电子在特定磁场中的能级分布，形成了一种形似蝴蝶的分形图案）有关，即证明特定参数（所有非零的耦合常数和所有无理频率）的几乎Mathieu算子的谱是康托集。该证明将量子力学与复杂的数学结构紧密相连。这个问题的名字来自于数学家Mark Kac，他曾表示，谁能破解此难题便请谁喝十杯马丁尼酒，因而又称“十杯马丁尼”问题。

在该问题之前的研究工作中，Artur Avila与Svetlana Jitomirskaya合作，完全解决了Ten Martini问题, 相关成果2009年发表在Annals of Mathematics上，这也是Artur Avila能获得2014年菲尔兹奖的重要贡献之一。但Artur Avila与Svetlana Jitomirskaya的证明是基于一种简化的理想模型，并不能证实现实复杂情况下也是如此。同时，在2013年美国物理学家们确实在对置于磁场中的双层超薄石墨烯进行电子能级测量时真实观察到了Hofstadter蝴蝶图案，这也急需进一步的数学解释。2015年，Artur Avila提出了“全局理论”，为现实复杂模型的严格数学证明提供了概念上的可能性，但Artur Avila给出的是定性理论，且其中不变量的几何意义不明确，这限制了这个理论的应用范围。2016年，当时在读博士生葛灵睿、Svetlana Jitomirskaya、尤建功、周麒一起提出了一个新的想法重建这套理论，合作完成了他们称其为定量全局理论的新方法。他们开发的新方法挖掘出了Artur Avila“全局理论”描述的几何对象中之前被所有人忽略的信息。后来葛灵睿和Svetlana Jitomirskaya、尤建功进一步合作，撰写了一篇通用证明，解决了有干扰情境下的“Ten Martini”问题。

这从数学上严格证明了Hofstadter蝴蝶图是一种真实存在的现象。他们预测，这仅仅只是这一方法所能取得的成果的开端，定量的Avila全局理论具有强大的威力，将会对拟周期薛定谔算子研究中的许多重要问题做出实质性推进。

葛灵睿2019年博士毕业于南京大学，师从尤建功教授。博士毕业后他前往美国加州大学欧文分校任访问助理教授，合作导师Svetlana Jitomirskaya，2022年葛灵睿回国加入了北京大学，目前为北京国际数学研究中心助理教授。他的主要研究领域为动力系统、数学物理与谱理论，重点是对拟周期薛定谔算子谱理论的研究。